1. La réponse à cette question nécessite de distinguer selon que le décès intervient dans le cadre d’une procédure pénale ou d’une procédure civile.

Au pénal

2. Dans le premier cas, la mort de l’inculpé, entraine l’extinction de l’action pénale, appelée dans le jargon « l’action publique » (article 20, alinéa 1er, du titre préliminaire du Code de procédure pénale).
Bien que non expressément visé par cette disposition, le décès du prévenu ou de l’accusé et plus généralement de la personne faisant l’objet d’une information judiciaire ou d’une instruction judiciaire entraine les mêmes conséquences.
Ce principe découle de celui de la personnalité des peines, selon lequel seul l’auteur de l’infraction doit répondre de ses agissements sur un plan pénal.

3. En revanche, l’action civile (qui est l’action exercée, dans un procès pénal, par une partie civile qui demande réparation de son dommage né de la commission de l’infraction) ne s’éteint ni par le décès de l’auteur de l’infraction, l’action civile pouvant être exercée contre les ayants-droits (héritiers) du défunt, ni par le décès de la partie civile, dont les héritiers peuvent poursuivre la procédure à l’encontre de l’auteur de l’infraction.

Au civil

4. La situation est différente dans le cadre d’un procès civil.

5. Conformément à l’article 815 du Code judiciaire, le décès d’une partie en cours de procédure demeure sans effet tant que le décès n’a pas été notifié à la juridiction saisie du litige.
À défaut de notification, la procédure se poursuit normalement, comme si la partie était toujours en vie, et de manière régulière.

6. Si le décès est notifié, par exemple par l’avocat du défunt ou par ses héritiers, cette notification a pour effet d’interrompre l’instance, ce qui implique que plus aucun acte ne pourra être valablement accompli le temps de l’interruption. L’interruption prendra fin par le dépôt d’un acte de reprise d’instance, qui peut être volontaire ou forcée.
La reprise d’instance sera volontaire lorsqu’elle émane des héritiers du défunt. La reprise d’instance par les héritiers n’est en rien obligatoire, ceux-ci étant parfaitement autorisés à ne pas poursuivre la procédure dans laquelle le défunt était impliqué.
Mais les héritiers qui feraient ce choix pourraient aussi être cités en reprise d’instance forcée par l’autre partie en cause. Imaginons un litige qui oppose Madame A, laquelle réclame 50.000 € à Monsieur B. Si Madame A décède en cours de procédure, ses héritiers peuvent (mais ne doivent pas) reprendre l’instance mue par Madame A afin d’obtenir la condamnation de Monsieur B. À l’inverse, si c’est Monsieur B qui décède en cours de procédure, il est fort probable que ses héritiers ne soient pas enclins à volontairement reprendre l’instance, mais ils pourraient être cités en reprise d’instance forcée par Madame A.
En cas de reprise d’instance, la procédure est poursuivie selon ses derniers errements et les actes de procédure qui ont précédé le décès sont maintenus (article 819 du Code judiciaire).